Đại số tuyến tính Ví dụ

${(3)}^{2} a + 3 b + c = 4$ , ${(5)}^{2} a + 5 b + c = 4$ , ${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Bước 1

Di chuyển các biến sang vế trái và các số hạng không đổi sang vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

${(5)}^{2} a + 5 b + c = 4$

${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Bước 1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

${(2)}^{2} a + 2 b + c = 1$

Bước 1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

$9 a + 3 b + c = 4$

$25 a + 5 b + c = 4$

$4 a + 2 b + c = 1$

Bước 2

Viết hệ phương trình dưới dạng một ma trận.

$[\begin{array}{c} 9 & 3 & 1 & 4 \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Bước 3

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{9}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{1}$ với $\frac{1}{9}$ để số tại $1, 1$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{9} & \frac{3}{9} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Bước 3.1.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Bước 3.2

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 25 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 25 - 25 \cdot 1 & 5 - 25 (\frac{1}{3}) & 1 - 25 (\frac{1}{9}) & 4 - 25 (\frac{4}{9}) \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Bước 3.2.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 & 2 & 1 & 1 \end{array}]$

Bước 3.3

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{3}) & 1 - 4 (\frac{1}{9}) & 1 - 4 (\frac{4}{9}) \end{array}]$

Bước 3.3.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & - \frac{10}{3} & - \frac{16}{9} & - \frac{64}{9} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Bước 3.4

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- \frac{3}{10}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- \frac{3}{10}$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ - \frac{3}{10} \cdot 0 & - \frac{3}{10} (- \frac{10}{3}) & - \frac{3}{10} (- \frac{16}{9}) & - \frac{3}{10} (- \frac{64}{9}) \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Bước 3.4.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{5}{9} & - \frac{7}{9} \end{array}]$

Bước 3.5

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - \frac{2}{3} R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{5}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{15} & - \frac{7}{9} - \frac{2}{3} \cdot \frac{32}{15} \end{array}]$

Bước 3.5.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & - \frac{11}{5} \end{array}]$

Bước 3.6

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $5$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $5$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 5 \cdot 0 & 5 \cdot 0 & 5 (\frac{1}{5}) & 5 (- \frac{11}{5}) \end{array}]$

Bước 3.6.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & \frac{8}{15} & \frac{32}{15} \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Bước 3.7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - \frac{8}{15} R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 - \frac{8}{15} \cdot 0 & 1 - \frac{8}{15} \cdot 0 & \frac{8}{15} - \frac{8}{15} \cdot 1 & \frac{32}{15} - \frac{8}{15} \cdot - 11 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Bước 3.7.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Bước 3.8

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{9} R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1 & \frac{4}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 11 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Bước 3.8.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Bước 3.9

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Bước 3.9.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & - 11 \end{array}]$

Bước 4

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 11$

Bước 5

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(- 1, 8, - 11)$